Question

14．已知f（x）=lnx-bx+a+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)b=1，若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥-ln x+x-1，令g（x）=-ln x+x-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分）
${f^'}（x）=\frac{1}{x}-b$…（2分）
若b≤0，f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（3分）
若b＞0，令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}$，
令f′（x）＜0，解得$x＞\frac{1}$…（5分）
綜上，當(dāng)b≤0，f（x）在單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
b＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為$（{0，\frac{1}}）$，遞減區(qū)間為$（{\frac{1}，+∞}）$．…（6分）
（2）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=ln x-x+a+1（x＞0）．
原題即為存在x使得ln x-x+a+1≥0，
∴a≥-ln x+x-1，…（7分）
令g（x）=-ln x+x-1，
則g′（x）=-$\frac{1}{x}$+1=$\frac{x-1}{x}$．令g′（x）=0，解得x=1．
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）為增函數(shù)，…（10分）
∴g（x）_min=g（1）=0．
∴a≥g（1）=0．∴a的取值范圍為[0，+∞）．                  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．