Question

5．已知數(shù)列$\frac{1}{1×3}，\frac{1}{3×5}，\frac{1}{5×7}，…，\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…，S_n是其前n項和，計算S₁、S₂、S₃，由此推測計算S_n的公式，并給出證明．

Answer 1

分析 直接計算可得S₁、S₂、S₃，由此猜測${S_n}=\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．運用數(shù)學歸納法和裂項相消求和，即可得到結(jié)論．

解答 解：S₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$；
S₂=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）=$\frac{2}{5}$；
S₃=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}$）=$\frac{3}{7}$．
可得${S_1}=\frac{1}{3}，{S_2}=\frac{2}{5}，{S_3}=\frac{3}{7}$；
猜測${S_n}=\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．
（方法一）用數(shù)學歸納法證明：
（1）當n=1時，S₁=$\frac{1}{2×1+1}$=$\frac{1}{3}$，猜想成立；
（2）假設(shè)當n=k（k∈N*）時猜想成立．即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
那么當n=k+1時，有${S_{k+1}}={S_k}+\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k（2k+3）+1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
所以，當n=k+1時，猜想也成立．
綜上，對任意n∈N*，猜想成立．
（ 方法二 ）由$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和的方法：數(shù)學歸納法和裂項相消求和，考查歸納和猜想，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．