Question

11．已知函數(shù)f（x）=|2x-m|，若不等式f（x）≤1的解集為{x|1≤x≤2}．
（1）求的m值；
（2）已知a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：f（x）-2|x+3|≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x，得到關(guān)于m的方程組，解出即可；（2）根據(jù)既不不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 （1）解：由f（x）≤1得：-1≤2x-m≤1，
即$\frac{-1+m}{2}≤x≤\frac{1+m}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{-1+m}{2}=1\\ \frac{1+m}{2}=2\end{array}\right.$，即m=3．
（2）證明：∵$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}+\frac{a+b+c}{c}=3+（{\frac{a}+\frac{a}}）+（{\frac{c}+\frac{c}}）+（{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}}）$ 
≥2+2+2+3=9（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c=\frac{1}{3}$），
f（x）+2|x+3|=|2x-3|-|2x+6|≤|（2x+6）-（2x-3）|=9，
∴$f（x）+2|{x+3}|≤\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查既不不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．