Question

1．已知a，b∈R₊，求證$\sqrt{{a^2}+{b^2}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（a+b）$（用分析法證明）

Answer 1

分析 分析法證明不等式，尋找使$\sqrt{{a^2}+{b^2}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（a+b）$成立的充分條件，直到使不等式成立的條件顯然具備為止．

解答 證明：要證$\sqrt{{a^2}+{b^2}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（a+b）$，
只要證a²+b²≥$\frac{1}{2}$（a+b）²，
即證明2（a²+b²）≥a²+2ab+b²，
也就是證明（a-b）²≥0，
此式顯然成立，故要證的不等式成立．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，著重考查分析法的應(yīng)用，考查推理能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．