Question

如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中e=

1

2

，焦距為2，過點M（4，0）的直線l與橢圓C交于點A、B，點B在AM之間．又點A，B的中點橫坐標(biāo)為

4

7

，且

AM

=λ

MB

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（Ⅱ）求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）運用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（II）運用向量共線的知識，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用判別式大于0，以及韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，計算得到A，B的橫坐標(biāo)，即可得到所求值．

解答： 解：（I）由條件可知，c=1，a=2，
故b²=a²-c²=3，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）由

AM

=λ

MB

，可知A，B，M三點共線，
設(shè)點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）．
若直線AB⊥x軸，則x₁=x₂=4，不合題意．
當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）．
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

消去y得，（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．①
由①的判別式△=32²k⁴-4（4k²+3）（64k²-12）=144（1-4k²）＞0，
解得k2＜

1

4

，

x1+x2= 32k2 4k2+3 x1x2= 64k2-12 4k2+3

，
由

x1+x2

2

=

16k2

4k2+3

=

4

7

，可得k2=

1

8

，即有k=

2

4

．
將k2=

1

8

代入方程①，得7x²-8x-8=0，
則x₁=

4-6 2

7

，x₂=

4+6 2

7

．
又因為

AM

=(4-x1，-y1)，

MB

=(x2-4，y2)，

AM

=λ

MB

，
所以λ=

4-x1

x2-4

，
所以λ=

-9-4 2

7

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查運算能力，屬于中檔題．