Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)0＜-

1

a

＜e時，若f（x）在區(qū)間（0，e）上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時，試推斷方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有實數(shù)根．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，再代入求導(dǎo)f′（x）=

1-x

x

，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令f′（x）=a+

1

x

=0解得x=-

1

a

；從而確定單調(diào)性及最值及即可；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知當(dāng)a=-1時，f（x）_max=f（1）=-1，從而得|f（x）|≥1；再令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，則g′（x）=

1-lnx

x2

；從而求最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，
當(dāng)a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=

1-x

x

；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0；
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）因為f′（x）=a+

1

x

，
令f′（x）=0解得x=-

1

a

；
由f′（x）＞0解得0＜x＜-

1

a

，由f′（x）＜0解得-

1

a

＜x＜e；
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，-

1

a

)，減區(qū)間為(-

1

a

，e)；
所以，f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-3；
解得，a=-e²．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知當(dāng)a=-1時，f（x）_max=f（1）=-1，
所以，|f（x）|≥1；
令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，則g′（x）=

1-lnx

x2

；
當(dāng)0＜x＜e時，g′（x）＞0；當(dāng)x＞e時，g′（x）＜0；
從而g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減；
所以，g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

＜1；
所以，|f（x）|＞g（x），
即|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

；
所以，方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

沒有實數(shù)根．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性命題的處理方法，屬于中檔題．