Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都為a，P為A₁B上的點(diǎn)．
（1）試確定

A1P

PB

的值，使得PC⊥AB；
（2在直線A₁B上找一點(diǎn)P使二面角P-AC-B的大小為60°，求

A1P

PB

的值；
（3）在（2）條件下，求C₁到平面PAC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由此利用向量法求出

A1P

PB

=1時(shí)，PC⊥AB．
（2）設(shè)

A1P

=t

A1B

，P（m，n，q），由已知得

A1P

=（ta，0，a-ta），

A1C

=（

1

2

a，

3

2

a，0），求出平面APC的法向

n

=（-3，

3

，

3t

1-t

），平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），由此利用向量法能求出結(jié)果．
（3）平面PAC的法向量

n

=（-3，

3

，2），

AC1

=（

a

2

，

3 a

2

，a），由此能求出C₁到平面PAC的距離．

解答： 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，
設(shè)P（x，0，z），則B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、
C（

a

2

，

3 a

2

，0）．A（0，0，0），

PC

=（

a

2

-x，

3

2

a，-z），

AB

=（a，0，0），
∵PC⊥AB，∴

PC

•

AB

=(

a

2

-x)a=0，
解得x=

1

2

a，即P為A₁B的中點(diǎn)，
∴

A1P

PB

=1時(shí)，PC⊥AB．
（2）設(shè)

A1P

=t

A1B

，P（m，n，q），

A1P

=（m，n，q-a），

A1B

=（a，0，-a），
則（m，n，q-a）=（ta，0，-ta），∴P（ta，0，a-ta），
C（

1

2

a，

3

2

a，0），

A1P

=（ta，0，a-ta），

A1C

=（

1

2

a，

3

2

a，0），
設(shè)平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • A1P =tax+(a-ta)z=0 n • A1C = 1 2 ax+ 3 2 ay=0

，
取y=

3

，得

n

=（-3，

3

，

3t

1-t

），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），二面角P-AC-B的大小為60°，
∴cos60°=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3t 1-t

12+( 3t 1-t )2

|=

1

2

，
由0≤t≤1，解得t=

2

5

，
∴

A1P

=

2

5

A1B

，∴

A1P

PB

=

2

3

．
（3）由（2）得平面PAC的法向量

n

=（-3，

3

，

3t

1-t

）=（-3，

3

，2），
C1(

a

2

，

3 a

2

，a)，

AC1

=（

a

2

，

3 a

2

，a），
∴C₁到平面PAC的距離d=

| n • AC1 |

| n |

=

|- 3a 2 + 3a 2 +2a|

16

=

a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿(mǎn)足條件的線段的比值的求法，考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．