Question

5．為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份星期一到星期日某一時間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表：

時間	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
車流量x（萬輛）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的濃度y （微克/立方米）	27	31	35	41	49	56	62

（1）在表中畫出車流量與PM2.5濃度的散點圖．
（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（3）①利用所求回歸方程，預(yù)測該市車流量為8萬輛時，PM2.5的濃度；
②規(guī)定當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（0，50]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（50，100]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為良，為使該市某日空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）
參考公式：回歸直線的方程是$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，其中$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）利用描點法可得數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）根據(jù)公式求出b，a，可寫出線性回歸方程；
（3）①根據(jù)（2）的性回歸方程，代入x=8求出PM2.5的濃度；
②由$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$，≤100，解得x的取值范圍．

解答 解：畫出車流量和PM2.5濃度的散點圖；

（2）由數(shù)據(jù)可得：$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（27+31+35+41+49+56+62）=43，∧
$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=1373，$\sum_{i=1}^{7}{x}_{i}{y}_{i}$=140，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{1373-1204}{140-112}$=$\frac{169}{28}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\frac{132}{7}$，
故y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$，
（3）①當(dāng)車流量為8萬輛時，即x=8時，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{169}{28}$×8+$\frac{132}{7}$=$\frac{470}{7}$，
故車流量為8萬輛時，PM2.5的濃度$\frac{470}{7}$，
②根據(jù)題意信息$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$≤100，
即當(dāng)x≤13.44時，
所要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)活為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi)．

點評 本題主要考查了線性回歸分析的方法，包括散點圖，用最小二乘法求參數(shù)，以及用回歸方程進(jìn)行預(yù)測等知識，考查了考生數(shù)據(jù)處理和運算能力，屬于中檔題．