Question

15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E，F，G分別是AA₁，AC，BB₁的中點，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）若D為BE的中點，求證：DF⊥平面A₁C₁G；
（Ⅱ）若AC=4，BC=2，求平面BEF與平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AG，則AG與BF交于點D，DF∥GC，推導出C₁C⊥A₁C₁，A₁C₁⊥CG，從而CG⊥平面A₁C₁G，由此能證明DF⊥平面A₁C₁G．
（Ⅱ）分別以AC、BC、CC₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面BEF與平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接AG，則AG與BF交于點D，
在△ACG中，DF是中位線，∴DF∥GC，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥A₁C₁，
∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
∴C₁B₁⊥A₁C₁，則A₁C₁⊥平面B₁C₁CB，則A₁C₁⊥CG，
又CG⊥C₁G，∴CG⊥平面A₁C₁G，
∴DF⊥平面A₁C₁G．
解：（Ⅱ）在平面B₁C₁CB中，△CC₁G是等腰直角三角形，則CC₁=2BC=4，
分別以AC、BC、CC₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），B（0，2，0），F（2，0，0），E（4，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{BF}$=（2，-2，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=2x-2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
平面B₁C₁CB的一個法向量$\overrightarrow{CF}$=（2，0，0），
設平面BEF與平面B₁C₁CB所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面BEF與平面B₁C₁CB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查面面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．