Question

13．已知圓錐曲線$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α為參數(shù)）$和定點(diǎn)$A（{0，\sqrt{3}}）$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是此圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求直線AF₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M，N兩點(diǎn)，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)α可得曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，先得直線的普通方程，化為極坐標(biāo)方程即可；
（Ⅱ）易得l的方程，解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得．

解答 解：（Ⅰ）消去參數(shù)α可得曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
可得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
∴直線AF₂的斜率為k=$\frac{\sqrt{3}-0}{0-\sqrt{3}}$=-1，
故直線方程為y-$\sqrt{3}$=-（x-0），即x+y=$\sqrt{3}$，
∴極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁（-$\sqrt{3}$，0）且與直線AF₂垂直的直線l斜率為1，
故l的方程為y-0=x+$\sqrt{3}$，即y=x+$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可解得M（$\frac{-4\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{5}$），N（$\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}$），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可得||MF₁|-|NF₁||=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程和直線的極坐標(biāo)方程，涉及直線和橢圓相交的問(wèn)題，屬中檔題．