Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=1- 2 2 t y=4- 2 2 t

（t為參數(shù)）．再以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位．在該極坐標(biāo)系中圓C的方程為ρ=4sinθ．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，1），求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：對(duì)第（1）問，先將方程ρ=4sinθ的兩邊同時(shí)乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得圓C的直角坐標(biāo)方程；
對(duì)第（2）問，先驗(yàn)證點(diǎn)M在直線l上，由已知點(diǎn)M寫出l的參數(shù)方程，再將此參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理及直線參數(shù)方程的幾何含義可探求|MA|+|MB|的值．

解答：解：（1）方程ρ=4sinθ的兩邊同時(shí)乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ，
將極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式

ρ2=x2+y2 ρsinθ=y

代入上式，
整理得圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0．
（2）由

x=1- 2 2 t y=4- 2 2 t

消去t，得直線l的普通方程為y=x+3，
因?yàn)辄c(diǎn)M（-2，1）在直線l上，可設(shè)l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

，
代入圓C的方程中，得t2-3

2

t+1=0．
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由韋達(dá)定理，得t1+t2=3

2

＞0，t₁t₂=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=t1+t2=3

2

，
即|MA|+|MB|=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：1．極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，一般通過兩邊同時(shí)平方，兩邊同時(shí)乘以ρ等方式，構(gòu)造或湊配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式轉(zhuǎn)化．常見互化公式有ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

（x≠0）等．
2．參數(shù)方程化普通方程，關(guān)鍵是消參，常見消參方式有：代入法，兩式相加、減，兩式相乘、除，方程兩邊同時(shí)平方等．
3．運(yùn)用參數(shù)方程解題時(shí)，應(yīng)熟練參數(shù)方程中各量的含義，即過定點(diǎn)M₀（x₀，y₀），且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

，參數(shù)t表示以M₀為起點(diǎn)，直線上任意一點(diǎn)M為終點(diǎn)的向量

M0M

的數(shù)量，即當(dāng)

M0M

沿直線向上時(shí)，t=|

M0M

|；當(dāng)

M0M

沿直線向下時(shí)，t=-|

M0M

|．