Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t

（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求直線l被圓截得的弦長；
（Ⅱ）從極點(diǎn)作圓C的弦，求各弦中點(diǎn)的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）求出直線的普通方程，以及圓的普通方程，利用圓心到直線的距離以及半徑半弦長的關(guān)系，求直線l被圓截得的弦長；
（Ⅱ）從極點(diǎn)作圓C的弦，設(shè)A（ρ₀，θ₀），弦OA的中點(diǎn)M（ρ，θ），列出關(guān)系式，即可求各弦中點(diǎn)的極坐標(biāo)方程．

解答：解（Ⅰ）依題，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y=

3

x，…（1分）
把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，…（3分）
則點(diǎn)C（0，2）到直線l的距離d=

2

1+3

=1，于是所求的弦長為2

22-12

=2

3

； …（5分）
（Ⅱ）記所作的弦為OA，設(shè)A（ρ₀，θ₀），弦OA的中點(diǎn)M（ρ，θ），
則

ρ=2ρ0 θ=θ0 ρ0=4sinθ0

，…．（8分）
消去ρ₀，θ₀，可得ρ=2sinθ即中點(diǎn)的極坐標(biāo)方程．
【注】其他方法比照上述方法酌情給分

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．