Question

6．（1）已知數列{a_n}：a₁=1，a_n+1+a_n=4，求數列{a_n}的通項公式；
（2）求函數$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$的值域．

Answer 1

分析 （1）根據關系式，構造新數列，a_n+1+a_n=4變形為a_n+1-2=-（a_n-2），令b_n=a_n-2，那么b_n+1=a_n+1-2，轉化為等比數列求解．
（2）求出定義域，利用兩邊平方法，轉化為二次函數求值域．

解答 解：（1）由題意：數列{a_n}：a₁=1，a_n+1+a_n=4變形為a_n+1-2=-（a_n-2），令b_n=a_n-2，則b₁=-1，b_n+1=a_n+1-2，那么：$\frac{_{n+1}}{_{n}}=-1=q$（等比數列），首項b₁=-1，
∴$_{n}=（-1）^{n}$，
故得：${a}_{n}=_{n}+2=2+（-1）^{n}$
所以數列{a_n}的通項公式為：2+（-1）ⁿ．
（2）函數$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$，其定義域為{x|0≤x≤1}．
∵f（x）＞0，
兩邊平方，可得：f²（x）=1+2$\sqrt{x-{x}^{2}}$，
∵x-x²在0≤x≤1的值域為[0，$\frac{1}{4}$]，
那么：（2$\sqrt{x-{x}^{2}}$）∈[0，1]，
∴f²（x）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，$\sqrt{2}$]．
所以函數$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$的值域為$[{1，\sqrt{2}}]$；

點評 本題考查了數列的通項公式的求法，利用構造思想，轉化為等比數列求解．考查了函數的值域的求法，利用了平方法轉化為二次函數問題求解．屬于基礎題．