Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+mx，x＜0}\end{array}\right.$是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+$\frac{3}{2}$]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，求出函數(shù)的解析式，即可得出m的值；
（2）分類討論，可得不等式，解不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-x²-2x，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴m=2；
（2）f（x）在[a，a+$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞增，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+\frac{3}{2}≤1}\end{array}\right.$，∴-1≤a≤-$\frac{1}{2}$；
f（x）在[a，a+$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞減，∴a+$\frac{3}{2}$≤-1或a≥1，∴a≤$\frac{5}{2}$或a≥1
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{5}{2}$]∪[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．