Question

20．如圖所示，要圍建一個(gè)面積為400m²的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻時(shí)需要維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為3m的進(jìn)出口，已知舊墻的維修費(fèi)用為56元/m，新墻的造價(jià)為200元/m，設(shè)利用舊墻的長(zhǎng)度為x（單位：m），修建此矩形場(chǎng)地的總費(fèi)用為y（單位：元）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）試確定x的值，使修建此矩形場(chǎng)地的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）由題意由題意知，矩形的一邊長(zhǎng)為xm，另一邊長(zhǎng)為$\frac{400}{x}$m，根據(jù)舊墻的維修費(fèi)用為56元/m，新墻的造價(jià)為200元/m，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）因?yàn)閤＞0，所以運(yùn)用基本不等式求出最小值，利用基本不等式等號(hào)成立的條件得出此時(shí)x的值．

解答 解：（1）由題意知，矩形的一邊長(zhǎng)為xm，另一邊長(zhǎng)為$\frac{400}{x}$m，
則y=56x+200（x-3）+200×$\frac{400}{x}$×2
=256x+$\frac{160000}{x}$-600（x＞0）．
故y=256x+$\frac{160000}{x}$-600（x＞0）．
（2）因?yàn)閤＞0，所以256x+$\frac{160000}{x}$≥2$\sqrt{256×40{0}^{2}}$=12800，
所以y=256x+$\frac{160000}{x}$-600≥12200，
當(dāng)且僅當(dāng)256x=$\frac{160000}{x}$，即x=25時(shí)，等號(hào)成立．
故當(dāng)利用舊墻的長(zhǎng)度為25m時(shí)，修建此矩形場(chǎng)地的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是12200元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，注意滿(mǎn)足的條件：一正二定三等，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．