Question

15．設函數f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在（0，π）上是增函數，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 首先利用函數的導數求函數的單調區(qū)間，進一步分離參數法，構造輔助函數，利用導數的求得函數的最小值，即可求出函數中a的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在（0，π）上是增函數，
∴f′（x）=cos2x-asinx≥0，
∴1-2sin²x-asinx≥0，
設t=sinx，t∈（0，1]，
即-2t²-at+1≥0，t∈（0，1]，
∴a≤-2t+$\frac{1}{t}$，
令g（t）=-2t+$\frac{1}{t}$，
則g′（t）=-2-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）在（0，1]遞減，
∴a≤g（1）=-1，
∴a≤-1．
故選：B．

點評 本題考查利用函數的導數求函數的單調區(qū)間，參數的取值范圍的確定，主要考查學生的應用能力．