Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式：f（x）≤x+3
（2）當(dāng)x，y∈Z，則稱點(diǎn)P（x，y）為平面上單調(diào)格點(diǎn)；若（2x，y）或（x，2y）為格點(diǎn)，則稱點(diǎn)P（x，y）為半格點(diǎn)．設(shè)Q={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{0≤x≤3}\end{array}\right.$}，A={（x，y）|f（x）≤y≤3，a=2}．
①求從區(qū)域Ω中任取一點(diǎn)P，而該點(diǎn)落在區(qū)域A上的概率；
②求從區(qū)域Ω中的所有格點(diǎn)或半格點(diǎn)中任取一點(diǎn)P，而該點(diǎn)是區(qū)域A上的格點(diǎn)或半格點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析 （1）分類討論，解不等式即可；
（2）①記事件M=“從區(qū)域Ω中任取一點(diǎn)P，而該點(diǎn)落在區(qū)域A上”，則事件M符合幾何概型；②記事件N=“從區(qū)域Ω中的所有格點(diǎn)或半格點(diǎn)中任取一點(diǎn)P，而該點(diǎn)是區(qū)域A上的格點(diǎn)或半格點(diǎn)”，則事件N符合古典概型．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，x≥2，f（x）≤x+3可化為3x-3≤x+3，∴x≤3，∴2≤x≤3；
$\frac{1}{2}＜$x＜2，f（x）≤x+3可化為x+1≤x+3恒成立；
x$≤\frac{1}{2}$，f（x）≤x+3可化為3-3x≤x+3，∴x≥0，∴0≤x≤$\frac{1}{2}$；
綜上所述，不等式：f（x）≤x+3的解集為[0，3]；
（2）作出集合Ω及A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域（如圖）：矩形OABC與△BCD，則：
①記事件M=“從區(qū)域Ω中任取一點(diǎn)P，而該點(diǎn)落在區(qū)域A上”，
則事件M符合幾何概型，即P=$\frac{\frac{1}{2}•3•\frac{3}{2}}{2•3}$=$\frac{3}{8}$．
②記事件N=“從區(qū)域Ω中的所有格點(diǎn)或半格點(diǎn)中任取一點(diǎn)P，而該點(diǎn)是區(qū)域A上的格點(diǎn)或半格點(diǎn)”，
則事件N符合古典概型．
區(qū)域Ω中的格點(diǎn)個(gè)數(shù)：
格點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)橫坐標(biāo)分別為0，1，2時(shí)，縱坐標(biāo)可以為0，1，2，3中的任一個(gè)，此時(shí)有3×4=12個(gè)；
半格點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$時(shí)，縱坐標(biāo)為整數(shù)0，1，2，3，此時(shí)有2×4=8個(gè)，
當(dāng)縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)0，1，2，此時(shí)共有9個(gè)，即區(qū)域Ω中的格點(diǎn)或半格點(diǎn)個(gè)數(shù)有29個(gè)，而區(qū)域A中的格點(diǎn)或半格點(diǎn)有（0，3），（1，3），（2，3），（1，2），（$\frac{1}{2}，2$），（$\frac{1}{2}，3）$，（$\frac{3}{2}$，3）共7個(gè)，
∴P=$\frac{7}{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解不等式，考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．