Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設(shè)F（x）=x²-a[x+f′（x）]+2x，討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）在第二問的基礎(chǔ)上，若方程F（x）=m，（m∈R）有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂，求證：x₁+x₂＞a．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）求出a=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{2x}_{1}{{-x}_{2}}^{2}-{2x}_{2}}{{x}_{1}+l{nx}_{1}{-x}_{2}-l{nx}_{2}}$，問題轉(zhuǎn)化為證明ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{2x}_{1}-{2x}_{2}}{{x}_{1}{+x}_{2}}$．設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1）．令g（t）=lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．…（2分）
∵當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時，f（x）_min=-$\frac{1}{e}$．…（3分）
（2）解：F′（x）=2x-（a-2）-$\frac{a}{x}$=$\frac{（2x-a）（x+1）}{x}$（x＞0）．
當(dāng)a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時，由F′（x）＞0，得x＞$\frac{a}{2}$；由F′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{a}{2}$．
所以函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$）．…（7分）
（3）證明：因為x₁、x₂是方程F（x）=m的兩個不等實根，由（1）知a＞0．
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則${{x}_{1}}^{2}$-（a-2）x₁-alnx₁=c，${{x}_{2}}^{2}$-（a-2）x₂-alnx₂=c．
兩式相減得${{x}_{1}}^{2}$-（a-2）x₁-alnx₁-${{x}_{2}}^{2}$+（a-2）•x₂+alnx₂=0，
即${{x}_{1}}^{2}$+2x₁-${{x}_{2}}^{2}$-2x₂=ax₁+alnx₁-ax₂-alnx₂=a（x₁+lnx₁-x₂-lnx₂）．
所以a=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{2x}_{1}{{-x}_{2}}^{2}-{2x}_{2}}{{x}_{1}+l{nx}_{1}{-x}_{2}-l{nx}_{2}}$．因為F′（$\frac{a}{2}$）=0，
即證明x₁+x₂＞$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{2x}_{1}{{-x}_{2}}^{2}-{2x}_{2}}{{x}_{1}+l{nx}_{1}{-x}_{2}-l{nx}_{2}}$，
即證明${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$+（x₁+x₂）（lnx₁-lnx₂）＜${{x}_{1}}^{2}$+2x₁-${{x}_{2}}^{2}$-2x₂，
即證明ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{2x}_{1}-{2x}_{2}}{{x}_{1}{+x}_{2}}$．設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1）．
令g（t）=lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$，則g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{{（t+1）}^{2}}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$．
因為t＞0，所以g′（t）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，g′（t）=0，所以g（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
又g（1）=0，所以當(dāng)t∈（0，1）時，g（t）＜0總成立．所以原題得證 …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)恒成立問題以及不等式的證明，是一道綜合題．