Question

已知函數(shù)g（x）=f（x）+x（x∈R）為奇函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時，f（x）=log₂x，求當(dāng)x＜0時，函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求g（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵函數(shù)g（x）=f（x）+x（x∈R）為奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x），
即f（-x）-x=-f（x）-x，
即f（-x）=-f（x）
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）∵x＜0，∴-x＞0，
則f（-x）=log₂（-x），
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），x＜0，
則g（x）=f（x）+x=x-log₂（-x），x＜0
故當(dāng)x＜0時，函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=x-log₂（-x），x＜0．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，和函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．