Question

若方程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意由于程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x，此方程屬于超越方程不能具體解出該方程的解，只能利用方程與函數(shù)相結(jié)合，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：由題意由于方程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x，不妨記f（x）=cos2x+

3

sin2x，g（x）=a+1，
∵x∈[0，

π

2

]，使得方程cos2x+

3

sin2x=a+1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)f（x）與g（x）在x∈[0，

π

2

]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又因?yàn)閒（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

） 由于x∈[0，

π

2

]，∴f（x）∈[-1，2]，要使的兩個(gè)函數(shù)圖形有兩個(gè)交點(diǎn)必須使得1≤a+1＜2，即0≤a＜1．
故答案為：0≤a＜1

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的思想及函數(shù)與方程的思想，此外還考查了利用輔助角公式化成同一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，并且利用三角函數(shù)的知識(shí)及與一次函數(shù)知識(shí)得到a的符合題意的式子．