Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0）$的最小正周期為π，且$f（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求ω和φ的值；
（2）給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象，并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（直接寫出結(jié)果即可，不需要敘述過程）；
（3）若$f（x）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的周期和條件，建立方程關(guān)系進行求解即可．
（2）利用三角函數(shù)的圖象關(guān)系進行作圖即可．
（3）結(jié)合三角函數(shù)的不等式進行求解．

解答 解：（1）∵函數(shù)的最小正周期為π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2，
則f（x）=cos（2x+φ），
由$f（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得
$cos（2x+φ）=cos（2×\frac{π}{4}+φ）=cos（\frac{π}{2}+φ）=-sinφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（4分）
即$sinφ=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，φ=-\frac{π}{3}$．（6分）
（2）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
如下圖（10分）  

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$．（12分）
（3）由（1）知$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）$，
令$cos（2x-\frac{π}{3}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
得$2kπ-\frac{π}{4}＜2x-\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{π}{4}，（k∈Z）$，即$2kπ+\frac{π}{12}＜2x＜2kπ+\frac{7π}{12}（k∈Z）$，（14分）
得$kπ+\frac{π}{24}＜x＜kπ+\frac{7π}{24}（k∈Z）$，即$x∈（kπ+\frac{π}{24}，kπ+\frac{7π}{24}），（k∈Z）$．（16分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出ω 和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．