Question

13．在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的圓心的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），半徑r=1．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）若α∈[0，$\frac{π}{3}$]，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點P的直角坐標為（0，2），直線l交圓C與A、B兩點，求$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出C的直角坐標，由圓的半徑可得圓的直角坐標系下的方程，將其轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可得答案；
（2）將直線的參數(shù)方程與圓的一般方程聯(lián)立可得t²+2（sinα+cosα）t+1=0，由根與系數(shù)的關系可得t₁+t₂=-2（sinα+cosα）＜0，t₁t₂=1，進而分析可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂）=2（sinα+cosα），|PA||PB|=|t₁t₂|=1，則有$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2（sinα+cosα）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，結(jié)合α的范圍，分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，圓C的圓心的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
則其直角坐標為x=ρcosθ=$\sqrt{2}$×cos$\frac{3π}{4}$=-1，y=ρsinθ=$\sqrt{2}$sin$\frac{3π}{4}$=1，
即C的直角坐標為（-1，1），
又由圓的半徑r=1，
則圓C的直角坐標方程為（x+1）²+（y-1）²=1，即x²+y²+2x-2y+1=0，
則其極坐標方程為ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ+1=0，
（2）由（1）可得，圓C的直角坐標方程為x²+y²+2x-2y+1=0，而直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入圓C的方程可得：t²+2（sinα+cosα）t+1=0，
又由α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
則有t₁+t₂=-2（sinα+cosα）＜0，t₁t₂=1，
則有t₁＜0，t₂＜0，
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂）=2（sinα+cosα），
|PA||PB|=|t₁t₂|=1，
故$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2（sinα+cosα）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
分析可得：當α=$\frac{π}{4}$時，α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2（sinα+cosα）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查圓的極坐標方程和參數(shù)方程的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意極坐標、直角坐標互化公式、圓的性質(zhì)的合理運用．