Question

已知命題“若f（x）=m²x²，g（x）=mx²-2m，則集合{x|f（x）＜g（x），

1

2

≤x≤1}=∅”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意知，存在x∈[

1

2

，1]使得f（x）＜g（x），即（m²-m）x²+2m＜0在

1

2

≤x≤1上有解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（m²-m）x²+2m，則

m2-m＞0 h( 1 2 )= m2+7m 4 ＜0

或

m2-m＜0 h(1)=m2+m＜0

，分別解之即可．

解答： 解：∵f（x）=m²x²，g（x）=mx²-2m，
又∵{x|f（x）＜g（x），

1

2

≤x≤1}=∅”是假命題，
∴存在x∈[

1

2

，1]使得f（x）＜g（x），即存在x∈[

1

2

，1]使得m²x²＜mx²-2m，
即（m²-m）x²+2m＜0在

1

2

≤x≤1上有解，
令h（x）=（m²-m）x²+2m，

m2-m＞0 h( 1 2 )= m2+7m 4 ＜0

或

m2-m＜0 h(1)=m2+m＜0

，解之可得-7＜m＜0
故答案為：（-7，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，分析得到（m²-m）x²+2m＜0在

1

2

≤x≤1上有解是關(guān)鍵，考查構(gòu)造函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．