Question

8．過(guò)x軸上一定點(diǎn)M作直線l與拋物線y²=4x交于P，Q兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=5$，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）或（-1，0）．

Answer 1

分析 設(shè)M（t，0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為：my+t=x，與拋物線方程聯(lián)立化為：y²-4my-4t=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)M（t，0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為：my+t=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-4my-4t=0，
△=16m²+16t＞0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=5$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+t）（my₂+t）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mt（y₁+y₂）+t²=-4t（m²+1）+4m²t+t²，
∴t²-4t-5=0，
解得t=5或-1．滿足△＞0．
∴M（5，0）或（-1，0）．
故答案為：（5，0）或（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．