Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-lnx．
（1）求證：函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x₀；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x₀的近似值x′，使得|x′-x₀|＜0.1；
（3）求證：f（x）＞2.3對x∈（0，+∞）恒成立．
（參考數(shù)據(jù)：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求出零點(diǎn)的范圍，從而證出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出零點(diǎn)的范圍，即極值點(diǎn)的范圍，求出滿足條件的零點(diǎn)的近似值即可；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）證明：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
∵函數(shù)y=e^x和y=-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）均遞增，
∴f′（x）在（0，+∞）遞增，
而f′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，f′（1）=e-1＞0，
∴f′（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上存在零點(diǎn)，記x₀，
且f′（x）在x₀左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，
綜上，f′（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)x₀，
即函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x₀；
（2）解：∵ln$\frac{5}{3}$=ln5-ln3≈0.51＜$\frac{3}{5}$⇒${e}^{\frac{3}{5}}$＞$\frac{5}{3}$，
且f′（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$]上的圖象連續(xù)，
f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（$\frac{3}{5}$）=${e}^{\frac{3}{5}}$-$\frac{5}{3}$＞0，
∴f′（x）的零點(diǎn)x₀∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$），
即f（x）的極值點(diǎn)x₀∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$），即x₀∈（0.5，0.6），
∴x₀的近似值x′可以取x′=0.55，
此時(shí)的x′滿足|x′-x₀|＜0.6-.05=0.1；
（3）證明：∵ln$\frac{7}{4}$=ln7-2ln2≈0.56＜$\frac{4}{7}$⇒${e}^{\frac{4}{7}}$＞$\frac{7}{4}$，
且f′（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$]上圖象連續(xù)，
f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（$\frac{4}{7}$）=${e}^{\frac{4}{7}}$-$\frac{7}{4}$＞0，
∴f′（x）的零點(diǎn)x₀∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$），
f（x）的極值點(diǎn)x₀∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$）⇒x₀＜$\frac{4}{7}$，
由（1）知：f′（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0，
且f（x）的最小值是f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$-lnx₀，
∵函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x}$-lnx在（0，+∞）遞減，且x₀＜$\frac{4}{7}$，
∴g（x₀）＞g（$\frac{4}{7}$）=1.75-（2ln2-ln7）≈2.31＞2.3，
∴f（x）≥f（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$-lnx₀＞2.3對x∈（0，+∞）恒成立．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．