Question

18．過原點的直線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）交于M，N兩點，P是雙曲線上異于M，N的一點，若直線MP與直線NP的斜率都存在且乘積為$\frac{5}{4}$，則雙曲線的離心率為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設出P，M，N的坐標，根據(jù)直線斜率之間的關系建立方程關系進行求解即可．

解答 解：由雙曲線的對稱性知，可設P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），則N（-x₁，-y₁）．
由${k_{PM}}{k_{PN}}=\frac{5}{4}$，可得：$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{y_0}+{y_1}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{5}{4}$，
即$y_0^2-y_1^2=\frac{5}{4}（x_0^2-x_1^2）$，即$\frac{5}{4}x_0^2-y_0^2=\frac{5}{4}x_1^2-y_1^2$，
又因為P（x₀，y₀），M（x₁，y₁）均在雙曲線上，
所以$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$，$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$，所以$\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$，
所以雙曲線的離心率為$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線斜率關系建立方程是解決本題的關鍵．