Question

20．已知函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，則當y≥1時，$\frac{x+y+1}{x+1}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$]
• B． [0，$\frac{7}{4}$]
• C． [$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{3}$]
• D． [1，$\frac{7}{3}$]

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用直線和圓的位置關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合和$\frac{y}{x+1}$的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函數(shù)．
∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，
∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，
由f′（x）=1+cosx≥0，∴函數(shù)單調(diào)遞增．
∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，∵當y≥1時，$\frac{x+y+1}{x+1}$=1+$\frac{y-0}{x+1}$，
∴不等式對應(yīng)的平面區(qū)域為圓心為（2，1），半徑為1的圓的上半部分．
而$\frac{y}{x+1}$的幾何意義為動點P（x，y）到定點A（-1，0）的斜率的取值范圍．
設(shè)k=$\frac{y}{x+1}$，（k＞0），則y=kx+k，即kx-y+k=0．
當直線和圓相切時，圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-1+k|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$=1
即8k²-6k=0，解得k=$\frac{3}{4}$．此時直線斜率最大．
當直線kx-y+k=0經(jīng)過點B（3，1）時，直線斜率最小，
此時3k-1+k=0，即4k=1，解得k=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$≤k≤$\frac{3}{4}$，故 $\frac{x+y+1}{x+1}$=1+$\frac{y-0}{x+1}$=1+k的取值范圍是[$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$]．
故選：A

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及直線斜率的取值范圍，綜合性較強，運算量較大，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想，屬于中檔題．