【題目】如圖，四面體中，是邊長為2的正三角形，是直角三角形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）若過的平面交的中點，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意得≌，進而得，取的中點，連接，.易得和，從而得平面，即可得到平面平面.

（2）根據(jù)（1）可建立空間直接坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦值即可.

解：（1）由題設(shè)易知：≌，從而

又是直角三角形，所以且

取的中點，連接，，則且，

又由于是正三角形，故且

又.

又因為，平面，

平面，又平面

所以平面平面；.

（2）由題設(shè)及（1）知，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

故

設(shè)是平面DAE的法向量，則即，

可取.

設(shè)是平面AEC的法向量，則即，可取.

則，

因為二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，PAD＝60°，AB⊥平面PAD，點M在棱PC上．

(Ⅰ)求證：平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅱ)若直線PA// 平面MBD，求此時直線BP與平面MBD所成角的正弦值．

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【題目】隨著5G商用進程的不斷加快，手機廠商之間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機也頻頻降低身價飛人尋常百姓家．某科技公司為了給自己新推出的5G手機定價，隨機抽取了100人進行調(diào)查，對其在下一次更換5G手機時，能接受的價格（單位：元）進行了統(tǒng)計，得到結(jié)果如下表，已知這100個人能接受的價格都在之間，并且能接受的價格的平均值為2350元（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）．

分組

一

二

三

四

五

手機價格X（元）

頻數(shù)

10

x

y

20

20

（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第一、二、三組中隨機抽取6人，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2人，求其中恰有1人能接受的價格不低于2000元的概率；

（2）若人們對5G手機能接受的價格X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)，為樣本方差，求．

附：．若，則，．

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【題目】如圖，已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于，兩點，點在準(zhǔn)線上的投影為，點是拋物線上一點，且滿足.

（1）若點坐標(biāo)是，求線段中點的坐標(biāo)；

（2）求面積的最小值及此時直線的方程.

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【題目】如圖所示，在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？

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【題目】已知圓臺側(cè)面的母線長為，母線與軸的夾角為，一個底面的半徑是另一個底面半徑的倍．

（1）求圓臺兩底面的半徑；

（2）如圖，點為下底面圓周上的點，且，求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐DABC中，ADDC，ACCB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面ABD平面BCD，E為AC的中點．

（I）證明：ADBC；

（II）求直線 DE 與平面ABD所成的角的正弦值．

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【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是矩形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，，．

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）在線段BC1上是否存在一點D，使得AD⊥A1B？若存在求出的值，若不存在請說明理由．

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【題目】已知三棱錐中，面，且，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為__________．

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