Question

10．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為1，體積為2，E為AB的中點(diǎn)，證明：A₁E與C₁B是異面直線，并求出它們所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析 根據(jù)異面直線所成角的定義作出平行直線，轉(zhuǎn)化為平面角進(jìn)行求解即可．

解答 解：根據(jù)已知條件，C₁C為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高
底面四邊形A₁ABB₁是正方形，且面積為1，
故由V=Sh=2，可得C₁C=2．
假設(shè)A₁E與C₁B不是異面直線，則它們在同一平面內(nèi)，
 由于點(diǎn)A₁、E、B在平面A₁ABB₁內(nèi)，則點(diǎn)C₁也在平面A₁ABB₁內(nèi)，這是不可能的，
故A₁E與C₁B是異面直線．
取A₁B₁的中點(diǎn)為F，連接BF，BC₁，
所以BF∥A₁E，則∠EBC₁或其補(bǔ)角，即為異面直線A₁E與C₁B所成的角．
在△BFC₁，BC₁=$\sqrt{5}$，BF=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，F(xiàn)C₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由余弦定理得cos∠FBC₁=$\frac{5+\frac{17}{4}-\frac{5}{4}}{2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{85}}{85}$＞0，
即∠FBC₁=arccos$\frac{8\sqrt{85}}{85}$，
所以異面直線A₁E與C₁B所成的角的大小為arccos$\frac{8\sqrt{85}}{85}$，

點(diǎn)評 本題主要考查異面直線所成角的求解，根據(jù)定義作出平行直線轉(zhuǎn)化為平面角結(jié)合余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．