Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_2k=a_2k-1+（-1）^k，a_2k+1=a_2k+2^k（k∈N^*），則{a_n}的前60項的和S₆₀=（　　）

• A． 2³¹-154
• B． 2³¹-124
• C． 2³²-94
• D． 2³²-124

Answer 1

分析 由條件可得a_2k+1-a_2k-1=2^k+（-1）^k，將k換為k-1，k-2，…，1，累加可得a_2k+1=2^k+1+$\frac{1}{2}$（-1）^k-$\frac{3}{2}$，求得{a_n}的通項公式，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，再由分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計算即可得到所求和．

解答 解：a_2k+1=a_2k+2^k=a_2k-1+（-1）^k+2^k，
所以a_2k+1-a_2k-1=2^k+（-1）^k，
同理a_2k-1-a_2k-3=2^k-1+（-1）^k-1，
…
a₃-a₁=2+（-1），
所以（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）
=（2^k+2^k-1+…+2）+[（-1）^k+（-1）^k-1+…+（-1）]，
由此得a_2k+1-a₁=2（2^k-1）+$\frac{1}{2}$[（-1）^k-1]，
于是a_2k+1=2^k+1+$\frac{1}{2}$（-1）^k-$\frac{3}{2}$，
a_2k=a_2k-1+（-1）^k=2^k+$\frac{1}{2}$（-1）^k-1-$\frac{3}{2}$+（-1）^k=2^k+$\frac{1}{2}$（-1）^k-$\frac{3}{2}$，
{a_n}的通項公式為：
當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=2${\;}^{\frac{n+1}{2}}$+$\frac{1}{2}$（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=2${\;}^{\frac{n}{2}}$+$\frac{1}{2}$（-1）${\;}^{\frac{n}{2}}$-$\frac{3}{2}$；
則S₆₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₅₉）+（a₂+a₄+a₆+..+a₆₀）
=[（2+2²+2³+…+2³⁰）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…-$\frac{1}{2}$）-$\frac{3}{2}$×30]
+[（2+2²+2³+…+2³⁰）+（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$）-$\frac{3}{2}$×30]
=2×$\frac{2（1-{2}^{30}）}{1-2}$+0-90=2³²-94．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和方法：注意運(yùn)用分組求和，考查分段數(shù)列的通項公式的求法，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，有一定的難度．