Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{71}{8}$，a_n+1=$\frac{7}{8}$a_n+1（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n-8}是等比數(shù)列，并求a_n；
（2）設(shè)b_n=（n+1）•（a_n-8），若b_n≤b_k對(duì)n∈N^*恒成立，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （′1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的定義即可得到{a_n-8}是以$\frac{7}{8}$為首項(xiàng)，以$\frac{7}{8}$為等比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可，
（2）利用作差法，通過數(shù)列的函數(shù)特征，即可求出k的值．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{7}{8}$a_n+1，（n∈N^*），
∴a_n+1-8=$\frac{7}{8}$（a_n-8），（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1￢}8}{{a}_{n}-8}$=$\frac{7}{8}$，
∵a₁=$\frac{71}{8}$，
∴a₁-8=$\frac{7}{8}$，
∴{a_n-8}是以$\frac{7}{8}$為首項(xiàng)，以$\frac{7}{8}$為等比的等比數(shù)列，
∴a_n-8=$\frac{7}{8}$×（$\frac{7}{8}$）^n-1=（$\frac{7}{8}$）ⁿ，
∴a_n=8+（$\frac{7}{8}$）ⁿ；
（2）∵b_n=（n+1）•（a_n-8），
∴b_n=（n+1）•（$\frac{7}{8}$）ⁿ，
∴b_n-b_n-1=（n+1）•（$\frac{7}{8}$）ⁿ-n•（$\frac{7}{8}$）^n-1=（$\frac{7}{8}$）ⁿ（n+1-$\frac{8}{7}$n）=（$\frac{7}{8}$）ⁿ（1-$\frac{n}{7}$），
當(dāng)1-$\frac{n}{7}$≥0時(shí)，即n≤7，b_n-b_n-1≥0
當(dāng)1-$\frac{n}{7}$≥0時(shí)，即n＞7，b_n-b_n-1＜0
∴當(dāng)n=7時(shí)，b_n值最大，
∵b_n≤b_k對(duì)n∈N^*恒成立
∴k=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題．