Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0），若橢圓的離心率為

3

2

，則|k₁|+|k₂|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（m，n），N（-m，-n），P（x，y），代入橢圓方程，兩式相減，再由斜率公式，離心率公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得k₁•k₂=-

1

4

，再由基本不等式即可得到最小值1．

解答： 解：設(shè)M（m，n），N（-m，-n），P（x，y），
則有

m2

a2

+

n2

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，
兩式相減得，

m2-x2

a2

+

n2-y2

b2

=0，
則有

n2-y2

m2-x2

=-

b2

a2

，
由于橢圓的離心率為

3

2

，
則

c

a

=

3

2

，即有

a2-b2

a2

=

3

4

，
即有-

b2

a2

=-

1

4

，
即有

n2-y2

m2-x2

=-

1

4

，
k₁•k₂=

n-y

m-x

•

n+y

m+x

=

n2-y2

m2-x2

=-

1

4

，
則有|k₁|+|k₂|≥2

|k1k2|

=2

1 4

=1．
當(dāng)且僅當(dāng)|k₁|=|k₂|，取得最小值1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)：離心率，考查直線的斜率公式，及基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．