Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx，函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）證明：函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）用反證法證明：f（x）=2的解是唯一的．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)增函數(shù)的定義進(jìn)行證明；
（II）假設(shè)f（x）=2有不同的解x₁，x₂，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出x₁=x₂，故假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論成立．

解答 證明：（I）F（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）=lnx₁-lnx₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₂＞x₁＞0，
∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（II）假設(shè)f（x）=2有兩個(gè)不同的解x₁，x₂，則f（x₁）=f（x₂）=2，
即lnx₁=lnx₂=2，∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=0，即ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=1，即x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾．
∴f（x）=2的解是唯一的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)增減性的判斷，反證法證明，屬于基礎(chǔ)題．