【題目】如圖, 是邊長為3的正方形,平面,,,BE與平面所成角為.
(Ⅰ)求證:平面 ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設點M在線段BD上,且平面BEF,求的長.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論;
(Ⅱ)建立空間直角坐標系,利用平面的法向量可得二面角的余弦值;
(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)果和空間向量的結(jié)論求得點M的坐標即可求得的長.
(Ⅰ)因為平面,所以,
因為是正方形,所以,
又BD,DE交于點E,從而平面.
(Ⅱ)因為DA,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標系如圖所示.
因為BE與平面所成角為,即
所以.由可知,
則,,,,,
所以,
設平面BEF的法向量為,則,
即,令,則
因為平面,所以為平面的法向量,,
所以.
因為二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.
(Ⅲ)點M是線段BD上一個動點,設.則,
因為平面BEF,所以,
即,解得.
此時,點M坐標為,,符合題意.
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【題目】 下列結(jié)論錯誤的是
A. 命題:“若,則”的逆否命題是“若,則”
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 命題:“, ”的否定是“, ”
D. 若“”為假命題,則均為假命題
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,四邊形是梯形,∥,,平面平面,且.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)已知點在棱上,且異面直線與所成角的余弦值為,求線段的長.
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【題目】口袋里裝有編號為1,2,3,4的四個小球,有放回的抽取兩次,記錄兩次取到小球的編號分別為,.獎勵規(guī)則如下:
①若,則獎勵玩具一個;
②若,則獎勵水杯一個;
③其余情況獎勵飲料一瓶.
小亮準備參加此項活動.
(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;
(Ⅱ)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.
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【題目】已知拋物線的焦點為,直線與軸的交點為,與的交點為,且.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)設過定點的直線與拋物線交于,兩點,連接并延長交拋物線的準線于點,當直線恰與拋物線相切時,求直線的方程.
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【題目】已知
(1)求的軌跡
(2)過軌跡上任意一點作圓的切線,設直線的斜率分別是,試問在三個斜率都存在且不為0的條件下, 是否是定值,請說明理由,并加以證明.
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【題目】如圖1,在邊長為2的菱形中,,于點,將沿折起到的位置,使,如圖2.
(1)求證:平面;
(2)在線段上是否存在點,使平面平面?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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【題目】(1)若關于x的不等式ax2﹣3x+2>0(a∈R)的解集為{x|x<1或x>b},求a,b的值;
(2)解關于x的不等式ax2﹣3x+2>5﹣ax(a∈R).
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