Question

15．已知△ABC內(nèi)一點O滿足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，若△ABC內(nèi)任意投一個點，則該點△OAC內(nèi)的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 要求該概率即求S_△AOC：S_△ABC=的比值．由$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，變形為：3$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AB}$，得到O到AC的距離是E到AC距離的一半，B到AC的距離是O到AC距離的3倍，兩三角形同底，面積之比轉(zhuǎn)化為概率．

解答 解：以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$為鄰邊作平行四邊形OBDC，則$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OD}$
∵$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴3$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AB}$，
作AB的兩個三等分點E，F(xiàn)，則$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{EO}$，
∴O到AC的距離是E到AC距離的一半，B到AC的距離是O到AC距離的3倍，如圖
∴S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
故△ABC內(nèi)任意投一個點，則該點△OAC內(nèi)的概率為$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點評 本題給出點O滿足的條件，求O點落在△AOC內(nèi)的概率，利用面積比求得；著重考查了平面向量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等知識．