Question

7．已知正項數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n+1²=a_n²+a_n+2²，則a₆=（　�。�

• A． 16
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 45

Answer 1

分析 將2a_n+1²=a_n²+a_n+2²變形：a_n+1²-a_n²=a_n²-a_n-1²，由等差數(shù)列的定義知數(shù)列{a_n²}為等差數(shù)列，求出首項為1和公差，由由等差數(shù)列的通項公式求出a_n²，由此能求出a₆．

解答 解：∵正項數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n+1²+a_n-1²（n≥2），
∴a_n+1²-a_n²=a_n²-a_n-1²，
∴數(shù)列{a_n²}為等差數(shù)列，首項為1，公差d=a₂²-a₁²=3，
∴a_n²=1+3（n-1）=3n-2，
∴a₆²=3×6-2=16，解得a₆=±4，數(shù)列{a_n}為正項數(shù)列，則a₆=4，
故選：B．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系化簡，等差數(shù)列的定義、通項公式的應(yīng)用，其中判斷數(shù)列{a_n²}為等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．