Question

5．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知$\sqrt{3}$a=2csinA．
（1）求角C的值；
（2）若c=$\sqrt{7}$，且S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理和特殊角的三角函數(shù)值即可求出；
（2）由三角形得面積公式和余弦定理即可求出．

解答 解：（1）由$\sqrt{3}$a=2csinA及正弦定理，得$\frac{a}{c}$=$\frac{2sinA}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinA}{sinC}$．
∵sinA≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∵△ABC是銳角三角形，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，
由面積公式，得$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即ab=6．①
由余弦定理，得a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=7，
即a²+b²-ab=7．②
由②變形得（a+b）²=3ab+7．③
將①代入③得（a+b）²=25，故a+b=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．