Question

17．設(shè)命題p：若2m+n=2，則雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{4}^{m}}$-$\frac{{x}^{2}}{{2}^{n}+5}$=1的焦距的最小值為6，命題q：若一圓柱存在的內(nèi)切球，則此圓柱的表面積與內(nèi)切球的表面積之比恰好等于圓柱的體積與內(nèi)切球的體積之比，那么，下列命題為真命題的是（　�。�

• A． p∧q
• B． （￢p）∧q
• C． p∧（￢q）
• D． （￢p）∧（￢q）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義和基本不等式判斷命題p，設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，由此能求出結(jié)果，判斷命題q的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真假．

解答 解：雙曲線的焦距為2c，2$\sqrt{{4}^{m}+{2}^{n}+5}$≥2$\sqrt{2\sqrt{{2}^{2m+n}}+5}$=2$\sqrt{4+5}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{1}{2}$n，n=1時取等號，
故命題p為真命題
設(shè)設(shè)球的半徑為R，
則圓柱的底面半徑為R，高為2R，
∴V_圓柱=πR²×2R=2πR³，V_球=$\frac{4}{3}$πR³．
∴$\frac{{V}_{圓柱}}{{V}_{球}}$=$\frac{2π{R}^{3}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3}{2}$，
S_圓柱=2πR×2R+2×πR²=6πR²，S_球=4πR²．
∴$\frac{{S}_{圓柱}}{{S}_{球}}$=$\frac{6π{R}^{2}}{4π{R}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
∴命題q：為真命題
∴p∧q為真命題，
故選：A

點評 本題考查了命題的真假的判斷，以及雙曲線，基本不等式，圓柱，球的體積和表面積，屬于中檔題．