Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F 是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定點(diǎn)F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁與面C₁EF所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用線面垂直得到直線所在的向量與平面內(nèi)的任何一個(gè)向量的數(shù)量積等于0，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而能夠確定F的位置．
（2）根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征首先看出平面的一個(gè)法向量，再設(shè)出另一個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，求另一個(gè)平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)兩個(gè)向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值求出答案即可．而線面角的求法是：首先計(jì)算出斜線所在的向量與平面的法向量的夾角，再根據(jù)此角與線面角的關(guān)系得到線面角．

解答：解：（I）由題意可得：以A為原點(diǎn)，分別以直線AB、AD、AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，且DF=x，則A₁（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，

1

2

，0)，F(xiàn)(x，1，0)
所以

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(x，1，0)
由D1E⊥面AB1F?

D1E

⊥

AB1

且

D1E

⊥

AF

，
所以

D1E • AB1 =0 D1E • AF =0

，可解得x=

1

2

所以當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F．
（II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，F(

1

2

，1，0)
由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得：平面AEF的一個(gè)法向量為

m

=(0，0，1)，
設(shè)平面C₁EF的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
在平面C₁EF中，

EC1

=(0，

1

2

，1)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，
所以

EC1 • n =0 EF • n  =0

，即

y=-2z x=y

，
所以取平面C₁EF的一個(gè)法向量為

n

=(2，2，-1)，
所以cos＜

m

，

n

＞=-

1

3

，
所以＜

m

，

n

＞=π-arccos

1

3

，
又因?yàn)楫?dāng)把

m

，

n

都移向這個(gè)二面角內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，

m

背向平面AEF，而

n

指向平面C₁EF，
所以二面角C₁-EF-A的大小為π-arccos

1

3

又因?yàn)?span id="vofdjki" class="MathJye">

BA1

=(-1，0，1)，
所以cos＜

BA1

，

n

＞=-

2

2

，
所以＜

BA1

，

n

＞=135?，
∴BA₁與平面C₁EF所成的角的大小為45°．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握利用空間向量判定線面垂直與利用空間向量求空間角的方法，求二面角的平面角與線面的關(guān)鍵是正確求出平面的法向量，再利用向量之間的有關(guān)運(yùn)算求出向量的夾角，進(jìn)而把向量的夾角轉(zhuǎn)化為空間角．區(qū)分二面角與面面角是易錯(cuò)點(diǎn)，本題較好的處理了這一點(diǎn)，利用法向量的指向確定出二面角是鈍角，此方法值得借鑒推廣