Question

14．如圖，AD∥BC，過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓O與直線AB相切，且圓O過(guò)線段BC的中點(diǎn)E．
（1）求證：∠B=∠ACD；
（2）求$\frac{AC}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線的性質(zhì)，及平行線的性質(zhì)可得∠B=∠ACD；
（2）證明△ABE∽△ACD，即可求$\frac{AC}{CD}$的值．

解答 （1）證明：∵圓O與直線AB相切，
∴∠BAE=∠ACE
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE，
∴∠BAE=∠DAC
又∵A、E、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠D=∠AEB．
∴∠ACD=180°-∠D-∠DAC=180°-∠AEB-∠BAE=∠B…（5分）
（2）解：由（1）∠BAE=∠DAC，∠D=∠AEB，
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
∵BC=2BE，BE=CE，
∴由切割線定理AB²=BC•BE=2BE²，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BE}=\sqrt{2}$…..（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．