Question

4．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)₂為右焦點，若∠F₁PF₂=45°，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． 2-$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． 3-2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把x=-c代入橢圓的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可取P$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，根據(jù)∠F₁PF₂=45°，可得$\frac{^{2}}{a}$=2c，化簡解出即可得出．

解答 解：F₁（-c，0），
把x=-c代入橢圓的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
取P$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，∵∠F₁PF₂=45°，∴$\frac{^{2}}{a}$=2c，∴a²-c²=2ac，化為：e²+2e-1=0，
又0＜e＜1，可得：e=$\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．