Question

8．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一條漸近線與橢圓$\frac{x^2}{5}$+y²=1交于P．Q兩點(diǎn)．F為橢圓右焦點(diǎn)，且PF⊥QF，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{4}{15}\sqrt{15}$
• B． $\frac{4}{5}\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}-1$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意PQ=2$\sqrt{5-1}$=4，設(shè)直線PQ的方程為y=$\frac{a}$x，代入$\frac{x^2}{5}$+y²=1，可得x=±$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{{a}^{2}+5^{2}}}$，利用弦長公式，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意PQ=2$\sqrt{5-1}$=4，
設(shè)直線PQ的方程為y=$\frac{a}$x，代入$\frac{x^2}{5}$+y²=1，可得x=±$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{{a}^{2}+5^{2}}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{{a}^{2}+5^{2}}}$=4，
∴5c²=4a²+20b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{15}\sqrt{15}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的離心率，考查弦長公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．