Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）； ④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；你認(rèn)為上述四個(gè)函數(shù)中，哪幾個(gè)是F函數(shù)，請說明理由．

Answer 1

分析 對于①，②，由定義得都是F函數(shù)；對于③，當(dāng)x=0時(shí)，不可能有|f（0）|≤m|0|=0，故f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx） 不是F函數(shù)；對于④，要使|f（x）|≤m|x|成立，必須m≥$\frac{4}{3}$，當(dāng)m≥$\frac{4}{3}$時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是F函數(shù)．

解答 解：對于①，m是任意正數(shù)時(shí)都有0≤m|x|，f（x）=0是F函數(shù)；
對于②，m≥2時(shí)，都有|2x|≤m|x|，f（x）=2x是F函數(shù)；
對于③，當(dāng)x=0時(shí)，|f（0）|=$\sqrt{2}$，不可能有|f（0）|≤m|0|=0
故f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx） 不是F函數(shù)；
對于④，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤m|x|，
當(dāng)x=0時(shí)，m可取任意正數(shù)；當(dāng)x≠0時(shí)，只須m≥$\frac{1}{|{x}^{2}+x+1|}$的最大值；
因?yàn)閤²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}$，所以m≥$\frac{4}{3}$，
因此，當(dāng)m≥$\frac{4}{3}$時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是F函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查F函數(shù)的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．