Question

12．設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）； ④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；你認為上述四個函數(shù)中，哪幾個是F函數(shù)，請說明理由．

Answer 1

分析 對于①，②，由定義得都是F函數(shù)；對于③，當x=0時，不可能有|f（0）|≤m|0|=0，故f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx） 不是F函數(shù)；對于④，要使|f（x）|≤m|x|成立，必須m≥$\frac{4}{3}$，當m≥$\frac{4}{3}$時，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是F函數(shù)．

解答 解：對于①，m是任意正數(shù)時都有0≤m|x|，f（x）=0是F函數(shù)；
對于②，m≥2時，都有|2x|≤m|x|，f（x）=2x是F函數(shù)；
對于③，當x=0時，|f（0）|=$\sqrt{2}$，不可能有|f（0）|≤m|0|=0
故f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx） 不是F函數(shù)；
對于④，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤m|x|，
當x=0時，m可取任意正數(shù)；當x≠0時，只須m≥$\frac{1}{|{x}^{2}+x+1|}$的最大值；
因為x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}$，所以m≥$\frac{4}{3}$，
因此，當m≥$\frac{4}{3}$時，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是F函數(shù)．

點評 本題考查F函數(shù)的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．