Question

5．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過F且與x軸垂直的直線交雙曲線于B，C兩點(diǎn)，若△ABC為直角三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用雙曲線的對(duì)稱性及直角三角形，可得|AF|=|BF|，求出|AF|，|BF|得到關(guān)于a，b，c的等式，即可求出離心率的值．

解答 解：∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC為直角
∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線BC垂直x軸
∴|AF|=|BF|
∵F為左焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（-c，0）
∴|BF|=$\frac{^{2}}{a}$
∴|AF|=a+c
∴$\frac{^{2}}{a}$=a+c
∴c²-ac-2a²=0
∴e²-e-2=0
∵e＞1，
∴e=2
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的對(duì)稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．