Question

設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)不為零，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的r，tN*，都有．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用a1表示）；

（2）設(shè)a1=1，b1=3，，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）在（2）的條件下，求．

 

Answer 1

（1）;（2）詳見解析;（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中所給數(shù)列遞推關(guān)系的特征：，有且只有前n項(xiàng)和的比值，而題中又要求以a1表示，即可想到令，，得到，這樣問題即可轉(zhuǎn)化為由求的問題，注意要分三步啊; （2）由（1）中所求的表達(dá)式，并已知a1=1，即可確定出的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，再運(yùn)用條件，不難求出關(guān)系：，結(jié)合所證數(shù)列的特征和等比數(shù)列的定義，可得，即可得證; （3）由在（2）的條件下，即可得出的通項(xiàng)公式：化簡(jiǎn)得，觀察其特點(diǎn)和所求目標(biāo)，不難想到求出：，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)化簡(jiǎn)得：，這樣就可聯(lián)想到數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消的方法，可得：．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719075126617983/SYS201411171907586882401822_DA/SYS201411171907586882401822_DA.019.png">，令，，則，得，即． 2分

當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，此式也成立．

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為． 5分

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，Sn＝n2．

依題意，時(shí)，， 7分

于是，且，

故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 10分

（3）由（2）得，所以． 12分

于是． 15分

所以． 16分

考點(diǎn)：1.遞推關(guān)系的處理;2.等比數(shù)列的定義;3.數(shù)列求和的應(yīng)用