Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，并且滿足a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得a_n=2S_n-1（n≥2），與原遞推式作差后，可得數(shù)列{a_n}從第二項起，構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，由此可得數(shù)列{a_n}的通項．

解答 解：由a_n+1=2S_n，得
a_n=2S_n-1（n≥2），
兩式作差得：a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n≥2），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3（n≥2）$，
又a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a₂=2a₁=2，不滿足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3（n≥2）$，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起，構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=2•{3}^{n-2}$（n≥2），
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．