Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+1

（a＞-1）．
（1）當a=2時，求證f（x）不是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
（3）若f（x）是奇函數(shù)，且f（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）舉個反例，使得f（-a）≠-f（a）即可；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明即可，注意指數(shù)函數(shù)y=2^x性質(zhì)的運用；
（3）先根據(jù)題意求出a的值，然后f（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]時恒成立，將式子變形為f（x）-（x²-4x）≥m在x∈[-2，2]時恒成立即可，在研究左邊函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值即可．

解答： 解：（1）易知，函數(shù)的定義域為R，而此時f（0）=-

1

2

≠0，
故該函數(shù)不是奇函數(shù)．
（2）由已知得f(x)=1-

a+1

2x+1

．
因為a＞-1，所以a+1＞0，所以該函數(shù)應(yīng)為定義域內(nèi)的增函數(shù)．
因為f′（x）=

(a+1)2xln2

(2x+1)2

，
因為a＞-1，所以a+1＞0，又2^x＞0，ln2＞0，所以f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
（3）由題意，若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由f（0）=0得，a=1．
故f（x）=

2x-1

2x+1

，易證該函數(shù)為奇函數(shù)．
結(jié)合（2）可知，該函數(shù)在[-2，2]上為增函數(shù)．
由f（x）≥x²-4x+m得f（x）-（x²-4x）≥m在x∈[-2，2]上恒成立．
而y=-（x²-4x）=-（x-2）²+4在[-2，2]上為增函數(shù)，
所以函數(shù)g（x）=f（x）-（x²-4x）在區(qū)間[-2，2]上為增函數(shù)，
故此時g（x）min=g（-2）=-

63

5

，
故所求m的范圍是（-∞，-

63

5

]．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，以及將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解的方法，屬于中檔題．