Question

已知橢圓γ：

x2

a2

+y2=1（常數(shù)a＞1）的左頂點(diǎn)R，點(diǎn)A（a，1），B（-a，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)；
（1）若P是橢圓γ上任意一點(diǎn)，

OP

=m

OA

+n

OB

，求m²+n²的值；
（2）設(shè)Q是橢圓γ上任意一點(diǎn)，S（3a，0），求

QS

•

QR

的取值范圍；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓γ上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB，試探究△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)A與B坐標(biāo)化簡(jiǎn)已知等式，確定出P坐標(biāo)，由P在橢圓上列出關(guān)系式，求出所求式子的值即可；
（2）設(shè)Q（x，y），利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

QS

•

QR

，配方后求出

QS

•

QR

的最大值與最小值，即可確定出

QS

•

QR

的范圍；
（3）根據(jù)題意，利用斜率公式得到

y1y2

x1x2

=-

1

a2

，兩邊平方，整理得到x₁²+x₂²=a²，表示出三角形OMN的面積，整理后把x₁²+x₂²=a²代入得到結(jié)果為定值

a

2

．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（a，1），B（-a，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴

OP

=m

OA

+n

OB

=（ma-na，m+n），
即P（ma-na，m+n），
把P坐標(biāo)代入橢圓方程得：（m-n）²+（m+n）²=1，即m²+n²=

1

2

；
（2）設(shè)Q（x，y），
則

QS

•

QR

=（3a-x，-y）•（-a-x，-y）
=（x-3a）（x+a）+y²
=（x-3a）（x+a）+1-

x2

a2

=

a2-1

a2

x²-2ax+1-3a²
=

a2-1

a2

（x-

a3

a2-1

）²-

4a4-4a2+1

a2-1

（-a≤x≤a），
由a＞1，得

a3

a2-1

＞a，
∴當(dāng)x=-a時(shí)，

QS

•

QR

的最大值為0；
當(dāng)x=a時(shí)，

QS

•

QR

的最小值為-4a²，
則

QS

•

QR

的范圍為[-4a²，0]；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓γ上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB，
由條件得：

y1y2

x1x2

=-

1

a2

，
平方得：x₁²x₂²=a⁴y₁²y₂²=（a²-x₁²）（a²-x₂²），即x₁²+x₂²=a²，
∴S_△OMN=

1

2

|x₁y₂-x₂y₁|=

1

2

x12y22+x22y12-2x1x2y1y2

=

1

2

x12(1- x22 a2 )+x22(1- x12 a2 )+ 2x12x22 a2

=

1

2

x12+x22

=

a

2

，
則△OMN的面積為定值

a

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，斜率公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．