Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx-a（x-1）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥x+1；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a≤$\frac{5}{4}$時，求函數(shù)h（x）=f（x）+4g（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令F（x）=f（x）-x-1，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明：f（x）≥x+1；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a≤$\frac{5}{4}$時，h′（x）≥0，可得h（x）在[1，+∞）上遞增，即可求函數(shù)h（x）=f（x）+4g（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值．

解答 （Ⅰ）證明：令F（x）=f（x）-x-1，F(xiàn)′（x）=e^x-1=0，∴x=0．
x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x＜0時，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴F（x）≥F（0）=0，
∴f（x）≥x+1；
（Ⅱ）解：g′（x）=$\frac{1-ax}{x}$（x＞0）．
a≤0時，x＞0，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
a＞0時，x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）；
x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅲ）解：h（x）=e^x+4lnx-4a（x-1），h′（x）=e^x+$\frac{4}{x}$-4a．
由（1）可知，h′（x）≥x+1+$\frac{4}{x}$-4a≥5-4a，
當(dāng)a≤$\frac{5}{4}$時，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴h（x）_min=h（1）=e．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，以及函數(shù)極值和最值的概念，屬于中檔題．