Question

已知x∈[0，1]，函數(shù)f（x）=x²-ln（x+

1

2

），g（x）=x³-3a²x-4a．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）設(shè)a≤-1，若?x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導數(shù)f′（x）=2x-

1

x+ 1 2

=

(x+1)(2x-1)

x+ 1 2

；從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域；
（2）設(shè)g（x）在[0，1]上的值域為[b，c]，則有b≤

1

4

且c≥ln2；再求導g′（x）=3x²-3a²，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-

1

x+ 1 2

=

(x+1)(2x-1)

x+ 1 2

；
令f′（x）＜0解得，0≤x＜

1

2

；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[0，

1

2

]，
此時，

1

4

≤f（x）≤ln2；
令f′（x）＞0解得，

1

2

＜x≤1；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[

1

2

，1]，
此時，

1

4

≤f（x）≤ln3-ln2；
故函數(shù)f（x）的值域為[

1

4

，ln2]．
（2）根據(jù)所給條件，設(shè)g（x）在[0，1]上的值域為[b，c]，
則有b≤

1

4

且c≥ln2；
g′（x）=3x²-3a²＜0，
g（x）在[0，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
故g（0）=-4a≥ln2，
解得a≤-

ln2

4

；
g（1）=1-3a²-4a≤

1

4

，
解得a≤-

3

2

或a≥

1

6

；
故a≤-

3

2

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．